怎样确定外心（怎样确定外心还是内心）

请教一个三角形的外心怎么求??

设圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。由该圆过已知三角形的三个顶点，把三个顶点坐标代入圆的一般方程。得到关于D，E，F的三元一次方程组，解得D，E，F即可。求线段AB与BC的垂直平分线，两个垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。外心到三个顶点的距离为半径R，已知三边长为a，b，c，他们对应的角为A，B，C。那么有余弦定理可求出角度。

分别用圆规做三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线交点就是三角形外形(外接圆圆心)。

直角三角形外心在哪里

1、直角三角形的外心是其斜边的中点。这个结论是正确的，我们可以从以下几个方面进行分析：定义与性质：在平面几何中，一个三角形的外心是指与三角形三个顶点距离相等的点的集合。对于直角三角形，由于其具有一条垂直于底边的斜边，斜边的中点恰好是外心。

2、你好，直角三角形的外心在斜边中点处。知识拓展：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。外心是三角形外接圆的中心，到三角形各顶点的距离相等。

3、“直角三角形外心在在斜边的中点。直角三角形外心在在斜边的中点。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部。

4、直角三角形的外心就是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外（最长边以外）。【扩展】三角形共有五个“心”，分别为：外心、内心、重心、垂心、旁心，其中旁心有三个。【内心】三角形的三条角平分线的交点，即“内切圆圆心”。

如何证明三角形的“四心”定理?

1、(1) 重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1。(2) 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直。(3) 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。(4) 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

2、证明一：角平分线的秘密 在三角形ABC中，角A的平分线AD和角B的平分线BE相交于O，延伸CO并交AB于F，这里见证了一个几何奇迹：CO平分角C。通过构造OG垂直于AC，OH垂直于AB，OI垂直于BC，我们发现OH、OG和OI均相等，这就直接证明了CO的分角特性。

3、三角形内心是三角形内接圆的圆心，同时是三条角平分线的交点。在三角形ABC中，AD为角A的平分线，BE为角B的平分线，它们交于O点。连接CO并延长交AB于F点，证明CO平分角C。作OG垂直AC于G，OH垂直AB于H，OI垂直BC于I。由已知，AD为角A的平分线，BE为角B的平分线，可得OH=OG=OI。

4、在三角形ABC中，D、E为BC、AC边上垂足，AD与BE交于点H。需证明CH垂直于AB。利用向量法证明，由H为垂心推出垂心性质1：若点H为三角形ABC垂心，则可得出相关向量关系，进一步推导出性质。运用奔驰定理，可得性质2：若H为三角形垂心，则有特殊几何关系成立。

三角形五心定律外心定理

1、首先，外心是三角形三边垂直平分线的交点。这意味着，无论三角形的形状如何，只要你能找到每条边的中点，然后延长这些中点的线段，它们都会在一点交汇，即为三角形的外心。其次，若我们以△ABC为例，外心O与角BOC之间存在特定的关系。

2、外心的性质：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点；内心：三角形的三条内角平分线交于一点。三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

4、三角形五心定理，是指三角形重心定理、外心定理、垂心定理、内心定理，以及旁心定理的总称。三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

5、三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 [编辑本段]三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

三棱锥外接球心如何确定?

1、三棱锥外接球的球心可以通过以下方法确定：通过非平行平面外接圆的圆心并垂直于非平行平面的两条直线的交点：首先，找到三棱锥中两个非平行平面的外接圆的圆心。然后，分别作过这两个圆心且垂直于各自平面的直线。这两条直线的交点即为三棱锥外接球的球心。

2、在几何学中，确定一个三棱锥的外接球球心位置是一个复杂的问题。如果三棱锥是正三棱锥，那么球心的位置可以相对容易地找到。我们假设有一个正三棱锥ABCD，其中O为外接球的球心。从O点作底面BCD的垂线交底面于P点。由于OB，OC，OD相等，可以证明PB，PC，PD也相等，从而得出P点是底面的中心。

3、则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上.设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

4、球心位于底面圆心的正上方，但具体位置需根据侧棱与底面的关系确定。若有1条侧棱垂直底面，则球心位于该侧棱的中点。若三棱锥的上顶点与底面圆心位于同一直线上，则球心位于这条直线上，且到上顶点和底面圆心的距离之和等于球的直径。

5、三棱锥的外接球球心位于三棱锥的重心。为了确定这个球心的位置，可以采取以下步骤：首先，分别从三棱锥的每个顶点向对应的底面做射影，得到四个射影点。这些射影点分别位于对应的底面三角形内部或外部。

6、第一步，确定底面圆的圆心与半径。假设底面为三角形ABC，若为直角三角形，则底面圆的圆心位于斜边的中点O1，即为BC边的中点。底面圆的半径等于O1A、O1B、O1C的长度，即根号2。如面对一般三角形，已知三边长度，则可通过正弦定理计算外接圆半径。第二步，确定球的球心位置。

三角形的内心、外心、旁心、重心、垂心的公式有哪些

重心：三角形三条中线的交点，其坐标公式为：\( \left( \frac{a+b+c}{6}， \frac{a+b-c}{2}， \frac{a-b+c}{2} \right) \)，其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 分别是三角形的三边长。

外心：三角形外接圆的圆心，通过圆周角定理可以推导，同弧所对圆周角为圆心角的一半。半圆所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径。已知直径或90°圆周角可辅助作图。重心：三角形三条中线的交点。

重心坐标为三顶点坐标平均值。编辑本段 外心 三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。外心到三顶点距离相等。过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形有且只有一个外接圆。

三角形的五心包括内心、外心、重心、垂心和旁心。其中，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心，重心是三条中线的交点，垂心是三条高的交点，旁心是角平分线的外延线与对应边的交点。

三角形内心外心重心垂心如下：内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的内心的性质：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。r=2S/(a+b+c) 。

The End